ECUACIONES DIFERENCIALES




OBJETIVO:
• Identificar, modelar y manipular sistemas dinámicos para predecir comportamientos, tomar decisiones fundamentadas y resolver problemas.
• Integrar los conceptos construidos en su periodo de formación matemática y vincularlos con los contenidos de las asignaturas de la ingeniería en estudio

1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
1.1 Teoría preliminar.
1.1.1 Definiciones (Ecuación diferencial, orden, grado, linealidad).
1.1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales.
1.1.3 Problema del valor inicial.
1.1.4 Teorema de existencia y unicidad.
1.2 ED de variables separables y reducibles.
1.3 ED exactas y factor integrante.
1.4 ED lineales.
1.5 ED de Bernoulli.
1.6 Aplicaciones.

2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
2.1 Teoría preliminar.
2.1.1 Definición de ED de orden n.
2.1.2 Problemas de valor inicial.
2.1.3 Teorema de existencia y unicidad de solución única.
2.1.4 EDL homogéneas.
2.1.4.1 Principio de superposición.
2.1.5 Dependencia e independencia lineal, wronskiano.
2.1.6 Solución general de las EDL homogénea.
2.1.6.1 Reducción de orden de una EDL de orden dos a una de primer orden, construcción de una segunda solución a partir de otra ya conocida.
2.2 Solución de EDL homogéneas de coeficientes constantes.
2.2.1 Ecuación característica para EDL de segundo orden (raíces reales y distintas, raíces reales e iguales, raíces complejas conjugadas).
2.3 Solución de las EDL no homogéneas.
2.3.1 Método por coeficientes determinados.
2.3.2 Método de variación de parámetros.
2.4 Aplicaciones. (Nota: La Ed 1a. debe decir y" + y =0 )

3. Transformada de Laplace
3.1 Teoría preliminar.
3.1.1 Definición de la transformada de Laplace.
3.1.2 Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace.
3.2 Transformada directa.
3.3 Transformada inversa
3.4 Propiedades.
3.4.1 Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos.
3.4.2 Función escalón unitario.
3.4.3 Propiedades de la transformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslación).
3.4.4 Transformada de funciones multiplicadas por tn, y divididas entre t.
3.4.5 Transformada de derivadas (teorema).
3.4.6 Transformada de integrales (teorema).
3.4.7 Teorema de la convolución.
3.4.8 Transformada de Laplace de una función periódica.
3.4.9 Función delta Dirac.
3.4.10 Transformada de Laplace de la función delta Dirac
3.5 Solución de ecuaciones.

4 Ecuaciones Diferenciales Lineales y Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
4.1 Teoría preliminar.
4.1.1 Sistemas de EDL.
4.1.2 Sistemas de EDL homogéneos.
4.1.3 Solución general y solución particular de sistemas de EDL.
4.2 Métodos de solución para sistemas de EDL.
4.2.1 Método de los operadores.
4.2.2 Utilizando transformada de Laplace.
4.3 Aplicaciones.
4.4 Series de Fourier
4.5 Solución de ED parciales por separación de variables (Ec. De difusión)